星の等級と明るさの関係を表す式が与えられており、それを用いて以下の2つの問いに答える。 (1) 等級-26の星は等級-12の星の何倍の明るさか。 (2) 等級の差が0.5であるとき、明るい星は暗い星の何倍の明るさか。 ただし、$\log_{10} 2 = 0.30$ とする。

1. 問題の内容

星の等級と明るさの関係を表す式が与えられており、それを用いて以下の2つの問いに答える。

(1) 等級-26の星は等級-12の星の何倍の明るさか。

(2) 等級の差が0.5であるとき、明るい星は暗い星の何倍の明るさか。

ただし、$\log_{10} 2 = 0.30$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 等級-26の星の明るさを $L_{-26}$、等級-12の星の明るさを $L_{-12}$ とする。

与えられた式に $n = -12$, $m = -26$ を代入すると、

$$-12 - (-26) = 2.5 (\log_{10} L_{-26} - \log_{10} L_{-12})$$

$$14 = 2.5 (\log_{10} L_{-26} - \log_{10} L_{-12})$$

$$\frac{14}{2.5} = \log_{10} \frac{L_{-26}}{L_{-12}}$$

$$5.6 = \log_{10} \frac{L_{-26}}{L_{-12}}$$

$$\frac{L_{-26}}{L_{-12}} = 10^{5.6} = 10^{5} \times 10^{0.6}$$

ここで、$10^{0.6} = 10^{\log_{10} 4} = 4$ である ($0.6 = 2 \times 0.3 = 2 \log_{10} 2 = \log_{10} 2^2 = \log_{10} 4$ より)から、

$$\frac{L_{-26}}{L_{-12}} = 10^5 \times 4 = 400000$$

(2) 等級の差が0.5であるから、$n - m = 0.5$ とする。

与えられた式に代入すると、

$$0.5 = 2.5(\log_{10} L_m - \log_{10} L_n)$$

$$0.5 = 2.5 \log_{10} \frac{L_m}{L_n}$$

$$\frac{0.5}{2.5} = \log_{10} \frac{L_m}{L_n}$$

$$0.2 = \log_{10} \frac{L_m}{L_n}$$

$$\frac{L_m}{L_n} = 10^{0.2}$$

ここで、$m$は$n$より等級が小さい（明るい）から、$L_m$ は $L_n$ より大きい。

また、$10^{0.2} = 10^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{10}$ である。

$10^{0.2}$ を求めるために、$\log_{10} 2 = 0.3$ を利用する。

$10^{0.2}$ を $x$ とおくと、$\log_{10} x = 0.2$.

$5 \log_{10} x = 1$

$\log_{10} x^5 = 1$

$x^5 = 10$

$x = \sqrt[5]{10}$

$x \approx 1.58$

あるいは

$10^{0.2} = 10^{\frac{1}{5}} = (10)^{\frac{1}{5}}$

与えられた$\log_{10} 2 = 0.3$ を用いて、$10^{0.2} = 10^{\frac{1}{5}} = 10^{\frac{0.6}{3}} = (10^{0.6})^{\frac{1}{3}} = (10^{\log_{10} 4})^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{4} \approx 1.587$

$n - m = 0.5$ より、

$0.5 = 2.5 (\log_{10} L_m - \log_{10} L_n) = 2.5 \log_{10} \frac{L_m}{L_n}$

$\log_{10} \frac{L_m}{L_n} = \frac{0.5}{2.5} = 0.2$

$\frac{L_m}{L_n} = 10^{0.2}$

$\log_{10} 1.58 = \log_{10} \frac{158}{100} = \log_{10} 158 - 2 = \log_{10} 2 \times 79 -2 = 0.3 + \log_{10} 79 -2 \approx 2.2 - 2 = 0.2$

よって、$10^{0.2} \approx 1.58$

3. 最終的な答え

(1) 400000 倍

(2) 1.6 倍