質点の位置ベクトル $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ が与えられています。ここで、 $x(t) = r_0 (\omega t - \sin \omega t)$, $y(t) = r_0 (1 - \cos \omega t)$, $z(t) = 0$ であり、$r_0$ と $\omega$ は正の定数です。 質点の速度と加速度を求め、 $0 \le t \le \frac{2\pi}{\omega}$ における質点の軌道を $xy$ 平面上に図示し、$t = 0, \frac{\pi}{2\omega}, \frac{\pi}{\omega}$ における加速度の向きを矢印で示します。矢印の始点は、それぞれの時刻における質点の位置に置きます。

1. 問題の内容

質点の位置ベクトル $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ が与えられています。ここで、 $x(t) = r_0 (\omega t - \sin \omega t)$, $y(t) = r_0 (1 - \cos \omega t)$, $z(t) = 0$ であり、$r_0$ と $\omega$ は正の定数です。

質点の速度と加速度を求め、 $0 \le t \le \frac{2\pi}{\omega}$ における質点の軌道を $xy$ 平面上に図示し、$t = 0, \frac{\pi}{2\omega}, \frac{\pi}{\omega}$ における加速度の向きを矢印で示します。矢印の始点は、それぞれの時刻における質点の位置に置きます。

2. 解き方の手順

(1) 速度を求める：速度 $\mathbf{v}(t)$ は位置ベクトル $\mathbf{r}(t)$ の時間微分です。

$v_x(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt} [r_0 (\omega t - \sin \omega t)] = r_0 (\omega - \omega \cos \omega t) = r_0 \omega (1 - \cos \omega t)$

$v_y(t) = \frac{dy(t)}{dt} = \frac{d}{dt} [r_0 (1 - \cos \omega t)] = r_0 \omega \sin \omega t$

$v_z(t) = \frac{dz(t)}{dt} = 0$

したがって、$\mathbf{v}(t) = (r_0 \omega (1 - \cos \omega t), r_0 \omega \sin \omega t, 0)$ です。

(2) 加速度を求める：加速度 $\mathbf{a}(t)$ は速度ベクトル $\mathbf{v}(t)$ の時間微分です。

$a_x(t) = \frac{dv_x(t)}{dt} = \frac{d}{dt} [r_0 \omega (1 - \cos \omega t)] = r_0 \omega^2 \sin \omega t$

$a_y(t) = \frac{dv_y(t)}{dt} = \frac{d}{dt} [r_0 \omega \sin \omega t] = r_0 \omega^2 \cos \omega t$

$a_z(t) = \frac{dv_z(t)}{dt} = 0$

したがって、$\mathbf{a}(t) = (r_0 \omega^2 \sin \omega t, r_0 \omega^2 \cos \omega t, 0)$ です。

(3) 加速度の方向を求める：

$t = 0$ のとき、 $\mathbf{a}(0) = (r_0 \omega^2 \sin 0, r_0 \omega^2 \cos 0, 0) = (0, r_0 \omega^2, 0)$。

$t = \frac{\pi}{2\omega}$ のとき、 $\mathbf{a}(\frac{\pi}{2\omega}) = (r_0 \omega^2 \sin \frac{\pi}{2}, r_0 \omega^2 \cos \frac{\pi}{2}, 0) = (r_0 \omega^2, 0, 0)$。

$t = \frac{\pi}{\omega}$ のとき、 $\mathbf{a}(\frac{\pi}{\omega}) = (r_0 \omega^2 \sin \pi, r_0 \omega^2 \cos \pi, 0) = (0, -r_0 \omega^2, 0)$。

(4) 軌道の図示は省略します。サイクロイド曲線になります。

3. 最終的な答え

速度：$\mathbf{v}(t) = (r_0 \omega (1 - \cos \omega t), r_0 \omega \sin \omega t, 0)$

加速度：$\mathbf{a}(t) = (r_0 \omega^2 \sin \omega t, r_0 \omega^2 \cos \omega t, 0)$

$t = 0$ での加速度：$\mathbf{a}(0) = (0, r_0 \omega^2, 0)$

$t = \frac{\pi}{2\omega}$ での加速度：$\mathbf{a}(\frac{\pi}{2\omega}) = (r_0 \omega^2, 0, 0)$

$t = \frac{\pi}{\omega}$ での加速度：$\mathbf{a}(\frac{\pi}{\omega}) = (0, -r_0 \omega^2, 0)$