図2(a)に示す単純梁において、スパン中央断面Cにおける上フランジ上面と下フランジ下面の曲げ応力を、断面が図2(b)のようであるときに求めます。

1. 問題の内容

図2(a)に示す単純梁において、スパン中央断面Cにおける上フランジ上面と下フランジ下面の曲げ応力を、断面が図2(b)のようであるときに求めます。

2. 解き方の手順

(1) 反力を計算する:

単純梁なので、反力は対称に発生します。全荷重は $100kN + 100kN = 200kN$ です。したがって、各支点の反力は $200kN / 2 = 100kN$ です。

(2) 断面Cにおける曲げモーメントを計算する:

断面Cにおける曲げモーメント$M_C$は、支点Aからの反力によって生じるモーメントから、支点Aから10mの位置にある荷重によって生じるモーメントを引いたものとして計算できます。

$M_C = 100kN \times 20m - 100kN \times 10m = 2000kN\cdot m - 1000kN\cdot m = 1000kN\cdot m$

(3) 断面の断面二次モーメント $I$ を計算する:

断面は上フランジ、ウェブ、下フランジから構成されるI形断面です。断面中心を求める必要がありますが、上下フランジが対象ではないので、ウェブからの距離を計算する必要があります。ウェブからの距離を $y$ とすると

$y = \frac{400 \times 20 \times 10 + 300 \times 10 \times (1000+20+10/2) + 9 \times 1000 \times 1000/2}{400 \times 20 + 300 \times 10 + 9 \times 1000} = \frac{80000+3000(1030)[phone])}{8000+3000+9000} = \frac{80000 + 3090000 + 4500000}{20000} = \frac{7670000}{20000} = 383.5$

$I = \frac{400 \times 20^3}{12} + 400 \times 20 \times (383.5-10)^2 + \frac{9 \times 1000^3}{12} + 9 \times 1000 \times (500-(383.5-20))^2 + \frac{300 \times 10^3}{12} + 300 \times 10 \times (1020+5-383.5)^2 = 266666.67 + 286014000 + 750000000 + 612542250 + 25000 + 245556712.5 = 1926633529.17 mm^4$

(4) 曲げ応力を計算する:

曲げ応力 $σ$ は、曲げモーメント $M$、断面二次モーメント $I$、および中立軸からの距離 $y$ を用いて、$σ = M \times y / I$ で計算できます。

上フランジ上面の曲げ応力:

$σ_{top} = \frac{1000 \times 10^6 N \cdot mm \times 383.5mm}{1926633529.17 mm^4} = \frac{383500000000}{1926633529.17} N/mm^2 = 199.05 N/mm^2 = 199.05 MPa$

下フランジ下面の曲げ応力:

下フランジ下面までの距離は、$1020 + 10 - 383.5 = 646.5$

$σ_{bottom} = \frac{1000 \times 10^6 N \cdot mm \times 646.5mm}{1926633529.17 mm^4} = \frac{646500000000}{1926633529.17} N/mm^2 = 335.57 N/mm^2 = 335.57 MPa$

3. 最終的な答え

上フランジ上面の曲げ応力: 199.05 MPa (引張)

下フランジ下面の曲げ応力: 335.57 MPa (引張)