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与えられた式 $(2x+y)^2(2x-y)^2$ を展開せよ。

代数学式の展開多項式因数分解二乗の公式
2025/4/14

1. 問題の内容

与えられた式 (2x+y)2(2x−y)2(2x+y)^2(2x-y)^2 を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、(2x+y)(2x−y)(2x+y)(2x-y) を計算します。これは和と差の積なので、次の公式が使えます。
(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
この公式を適用すると、
(2x+y)(2x−y)=(2x)2−y2=4x2−y2(2x+y)(2x-y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2
したがって、与えられた式は次のようになります。
(2x+y)2(2x−y)2=[(2x+y)(2x−y)]2=(4x2−y2)2(2x+y)^2(2x-y)^2 = [(2x+y)(2x-y)]^2 = (4x^2 - y^2)^2
次に、(4x2−y2)2(4x^2 - y^2)^2 を展開します。これは2乗の展開なので、次の公式が使えます。
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
この公式を適用すると、
(4x2−y2)2=(4x2)2−2(4x2)(y2)+(y2)2=16x4−8x2y2+y4(4x^2 - y^2)^2 = (4x^2)^2 - 2(4x^2)(y^2) + (y^2)^2 = 16x^4 - 8x^2y^2 + y^4

3. 最終的な答え

16x4−8x2y2+y416x^4 - 8x^2y^2 + y^4

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