関数 $f(\theta) = \cos^2\theta + 8\sin\theta\cos\theta - 5\sin^2\theta$ を合成せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \cos^2\theta + 8\sin\theta\cos\theta - 5\sin^2\theta$ を合成せよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(\theta)$を三角関数の2倍角の公式を用いて変形する。

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$

これらの公式を$f(\theta)$に代入すると、

$f(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} + 8 \cdot \frac{1}{2}\sin(2\theta) - 5 \cdot \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$

$f(\theta) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2\theta) + 4\sin(2\theta) - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}\cos(2\theta)$

$f(\theta) = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\cos(2\theta) + \frac{5}{2}\cos(2\theta) + 4\sin(2\theta)$

$f(\theta) = -2 + 3\cos(2\theta) + 4\sin(2\theta)$

次に、$3\cos(2\theta) + 4\sin(2\theta)$を合成する。

$3\cos(2\theta) + 4\sin(2\theta) = A\sin(2\theta + \alpha)$と置くと、

$A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

$\cos\alpha = \frac{4}{5}, \sin\alpha = \frac{3}{5}$となる$\alpha$が存在する。

よって、$3\cos(2\theta) + 4\sin(2\theta) = 5\sin(2\theta + \alpha)$ (ただし$\cos\alpha = \frac{4}{5}, \sin\alpha = \frac{3}{5}$)

したがって、$f(\theta) = -2 + 5\sin(2\theta + \alpha)$ (ただし$\cos\alpha = \frac{4}{5}, \sin\alpha = \frac{3}{5}$)

3. 最終的な答え

$f(\theta) = 5\sin(2\theta + \alpha) - 2$ (ただし$\cos\alpha = \frac{4}{5}, \sin\alpha = \frac{3}{5}$)