与えられた6個の不定方程式の整数解をすべて求める問題です。 (1) $2x + 5y = 1$ (2) $5x - 7y = 1$ (3) $13x + 5y = 1$ (4) $13x + 15y = 2$ (5) $3x - 5y = 6$ (6) $11x - 9y = 6$

1. 問題の内容

与えられた6個の不定方程式の整数解をすべて求める問題です。

(1) $2x + 5y = 1$

(2) $5x - 7y = 1$

(3) $13x + 5y = 1$

(4) $13x + 15y = 2$

(5) $3x - 5y = 6$

(6) $11x - 9y = 6$

2. 解き方の手順

それぞれの不定方程式について、まず特殊解を見つけます。その後、一般解を求めます。

(1) $2x + 5y = 1$

特殊解: $x = 3, y = -1$

$2(x - 3) + 5(y + 1) = 0$

$2(x - 3) = -5(y + 1)$

$x - 3 = 5k, y + 1 = -2k$

$x = 5k + 3, y = -2k - 1$

(2) $5x - 7y = 1$

特殊解: $x = 3, y = 2$

$5(x - 3) - 7(y - 2) = 0$

$5(x - 3) = 7(y - 2)$

$x - 3 = 7k, y - 2 = 5k$

$x = 7k + 3, y = 5k + 2$

(3) $13x + 5y = 1$

特殊解: $x = -2, y = 5$

$13(x + 2) + 5(y - 5) = 0$

$13(x + 2) = -5(y - 5)$

$x + 2 = 5k, y - 5 = -13k$

$x = 5k - 2, y = -13k + 5$

(4) $13x + 15y = 2$

特殊解: $x = -2, y = 2$

$13(x + 2) + 15(y - 2) = 0$

$13(x + 2) = -15(y - 2)$

$x + 2 = 15k, y - 2 = -13k$

$x = 15k - 2, y = -13k + 2$

(5) $3x - 5y = 6$

特殊解: $x = 2, y = 0$

$3(x - 2) - 5y = 0$

$3(x - 2) = 5y$

$x - 2 = 5k, y = 3k$

$x = 5k + 2, y = 3k$

(6) $11x - 9y = 6$

$11x = 9y + 6$

$11x = 9(y + 2/3)$

$11x-9y=6$　より、$11x-9y \equiv 0 \pmod 3$ であるので，$11x \equiv 0 \pmod 3$ となり，$2x \equiv 0 \pmod 3$ なので、$x \equiv 0 \pmod 3$ となる。

したがって、$x=3k$とおける。

これを代入すると、$33k-9y=6$。よって、$11k-3y=2$となる。

$11k-3y=2$の特殊解は、$k=1,y=3$。

$11(k-1)-3(y-3)=0$となるので、$11(k-1)=3(y-3)$。

よって、$k-1=3n,y-3=11n$。

$k=3n+1,y=11n+3$。

$x=3k=3(3n+1)=9n+3$。

したがって、$x=9n+3, y=11n+3$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 5k + 3, y = -2k - 1$

(2) $x = 7k + 3, y = 5k + 2$

(3) $x = 5k - 2, y = -13k + 5$

(4) $x = 15k - 2, y = -13k + 2$

(5) $x = 5k + 2, y = 3k$

(6) $x = 9n + 3, y = 11n + 3$

ただし、$k, n$ は整数