与えられた積分 $\int (\sqrt{2x} + 3)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (\sqrt{2x} + 3)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $(\sqrt{2x} + 3)^2$ を展開します。

$(\sqrt{2x} + 3)^2 = (\sqrt{2x})^2 + 2(\sqrt{2x})(3) + 3^2 = 2x + 6\sqrt{2x} + 9$

次に、この式を積分します。

$\int (2x + 6\sqrt{2x} + 9) dx = \int 2x dx + \int 6\sqrt{2x} dx + \int 9 dx$

各項を個別に積分します。

$\int 2x dx = x^2 + C_1$

$\int 6\sqrt{2x} dx = 6\sqrt{2} \int \sqrt{x} dx = 6\sqrt{2} \int x^{\frac{1}{2}} dx = 6\sqrt{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_2 = 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_2 = 4\sqrt{2} x^{\frac{3}{2}} + C_2 = 4\sqrt{2} x\sqrt{x} + C_2 = 4\sqrt{2x^3} + C_2$

$\int 9 dx = 9x + C_3$

したがって、

$\int (2x + 6\sqrt{2x} + 9) dx = x^2 + 4\sqrt{2}x\sqrt{x} + 9x + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ です。

$4\sqrt{2}x\sqrt{x}$ は、$4\sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}$ と書くこともできます。また、$4\sqrt{2} x\sqrt{x}= 4 \sqrt{2x^3}$と表すこともできます。

3. 最終的な答え

$x^2 + 4\sqrt{2}x\sqrt{x} + 9x + C = x^2 + 4 \sqrt{2x^3} + 9x + C$