半径 $R$ の円の面積を、円周 $2\pi r$ 、幅 $dr$ の微小なリングに分割し、それらを足し合わせることで求める考え方が示されています。与えられた微小面積は $dV = 2\pi r dr$ です。

1. 問題の内容

半径 $R$ の円の面積を、円周 $2\pi r$ 、幅 $dr$ の微小なリングに分割し、それらを足し合わせることで求める考え方が示されています。与えられた微小面積は $dV = 2\pi r dr$ です。

2. 解き方の手順

円の面積を求めるには、$dV$ を半径 $0$ から $R$ まで積分します。

$\int dV = \int_0^R 2\pi r dr$

定数 $2\pi$ を積分の外に出します。

$\int_0^R 2\pi r dr = 2\pi \int_0^R r dr$

$r$ の積分を実行します。

$2\pi \int_0^R r dr = 2\pi [\frac{1}{2} r^2]_0^R$

積分範囲を代入します。

$2\pi [\frac{1}{2} R^2 - \frac{1}{2} 0^2] = 2\pi (\frac{1}{2} R^2) = \pi R^2$

3. 最終的な答え

円の面積は $\pi R^2$ です。