方程式 $\sin x - x \cos x = 0$ が、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも1つの解を持つことを示せ。

1. 問題の内容

方程式 $\sin x - x \cos x = 0$ が、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも1つの解を持つことを示せ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = \sin x - x \cos x$ を定義します。

次に、区間の端点における関数の値を計算し、符号の変化を調べます。

$f(\pi)$と$f(\frac{3}{2}\pi)$の符号が異なる場合、中間値の定理により、区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ 内に少なくとも1つの解が存在します。

$x = \pi$ のとき：

$f(\pi) = \sin \pi - \pi \cos \pi = 0 - \pi(-1) = \pi$

$x = \frac{3}{2}\pi$ のとき：

$f(\frac{3}{2}\pi) = \sin (\frac{3}{2}\pi) - \frac{3}{2}\pi \cos (\frac{3}{2}\pi) = -1 - \frac{3}{2}\pi (0) = -1$

$f(\pi) = \pi > 0$ であり、$f(\frac{3}{2}\pi) = -1 < 0$ であるため、$f(\pi)$ と $f(\frac{3}{2}\pi)$ の符号は異なります。

関数 $f(x)$ は連続関数であるため、中間値の定理より、区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ 内に少なくとも1つの $c$ が存在し、$f(c) = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$f(\pi) = \pi > 0$ かつ $f(\frac{3}{2}\pi) = -1 < 0$ であるから、中間値の定理より、方程式 $\sin x - x \cos x = 0$ は開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも1つの解を持つ。