与えられた連立一次方程式 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。 (1) 係数行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & -6 \end{pmatrix}$ の行列式を余因子展開を用いて計算する。 (2) クラーメルの公式を用いて、連立一次方程式の解を求める。 (3) $A$ の余因子行列を求め、さらに $A$ の逆行列を求める。 (4) $A^{-1}A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$ および $A^{-1}A = E$ (単位行列) を用いて、連立一次方程式の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$

について、以下の問いに答える。

(1) 係数行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & -6 \end{pmatrix}$ の行列式を余因子展開を用いて計算する。

(2) クラーメルの公式を用いて、連立一次方程式の解を求める。

(3) $A$ の余因子行列を求め、さらに $A$ の逆行列を求める。

(4) $A^{-1}A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$ および $A^{-1}A = E$ (単位行列) を用いて、連立一次方程式の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $\det(A)$ を計算する。第1行で余因子展開を行う。

$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix}$

$= 1((-2)(-6) - (-3)(-1)) - 2((1)(-6) - (-3)(-2)) + 5((1)(-1) - (-2)(-2))$

$= 1(12 - 3) - 2(-6 - 6) + 5(-1 - 4)$

$= 9 - 2(-12) + 5(-5)$

$= 9 + 24 - 25 = 8$

(2) クラーメルの公式を用いる。

$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}$, $y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}$, $z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)}$

ここで、$A_x$ は $A$ の第1列を $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$ で置き換えた行列、$A_y$ は第2列、$A_z$ は第3列を置き換えた行列である。

$A_x = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & -3 \\ -7 & -1 & -6 \end{pmatrix}$

$\det(A_x) = 4(12 - 3) - 2(0 - 21) + 5(0 - 14) = 4(9) - 2(-21) + 5(-14) = 36 + 42 - 70 = 8$

$x = \frac{8}{8} = 1$

$A_y = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & -7 & -6 \end{pmatrix}$

$\det(A_y) = 1(0 - 21) - 4(-6 - 6) + 5(-7 - 0) = -21 - 4(-12) + 5(-7) = -21 + 48 - 35 = -8$

$y = \frac{-8}{8} = -1$

$A_z = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & -2 & 0 \\ -2 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

$\det(A_z) = 1(14 - 0) - 2(-7 - 0) + 4(-1 - 4) = 14 - 2(-7) + 4(-5) = 14 + 14 - 20 = 8$

$z = \frac{8}{8} = 1$

(3) 余因子行列 $C$ を求める。

$C_{11} = \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} = 9$, $C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} = -(-12) = 12$, $C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -5$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -1 & -6 \end{vmatrix} = -(-12 + 5) = 7$, $C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} = -6 + 10 = 4$, $C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 + 4) = -3$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} = -6 + 10 = 4$, $C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -(-3 - 5) = 8$, $C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 2 = -4$

$C = \begin{pmatrix} 9 & 12 & -5 \\ 7 & 4 & -3 \\ 4 & 8 & -4 \end{pmatrix}$

余因子行列の転置行列が $A$ の随伴行列である。

$\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 8 \\ -5 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

逆行列 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 8 \\ -5 & -3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9/8 & 7/8 & 1/2 \\ 3/2 & 1/2 & 1 \\ -5/8 & -3/8 & -1/2 \end{pmatrix}$

(4) $A^{-1}A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$ より、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 9 & 7 & 4 \\ 12 & 4 & 8 \\ -5 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix}$

$= \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 36 + 0 - 28 \\ 48 + 0 - 56 \\ -20 + 0 + 28 \end{pmatrix} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 8 \\ -8 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\det(A) = 8$

(2) $x = 1, y = -1, z = 1$

(3) $A^{-1} = \begin{pmatrix} 9/8 & 7/8 & 1/2 \\ 3/2 & 1/2 & 1 \\ -5/8 & -3/8 & -1/2 \end{pmatrix}$

(4) $x = 1, y = -1, z = 1$