(1) ある等差数列の初項から第7項までの和が49、第8項から第14項までの和が196であるとき、この等差数列の一般項と、初項から第70項までの和を求めよ。 (2) 3と10の間に$m$個の数を入れて等差数列を作ったところ、その総和が$\frac{325}{2}$となった。このとき、$m$の値と公差を求めよ。

1. 問題の内容

(1) ある等差数列の初項から第7項までの和が49、第8項から第14項までの和が196であるとき、この等差数列の一般項と、初項から第70項までの和を求めよ。

(2) 3と10の間に$m$個の数を入れて等差数列を作ったところ、その総和が$\frac{325}{2}$となった。このとき、$m$の値と公差を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の初項を$a$、公差を$d$とする。

初項から第7項までの和は、$S_7 = \frac{7}{2}(2a + 6d) = 49$

第8項から第14項までの和は、第1項から第14項までの和から第1項から第7項までの和を引いたものなので、

$S_{14} - S_7 = \frac{14}{2}(2a + 13d) - 49 = 196$

よって、

$7(2a + 6d) = 49$ より $2a + 6d = 7$ ... (1)

$7(2a + 13d) - 49 = 196$ より $7(2a + 13d) = 245$

$2a + 13d = 35$ ... (2)

(2) - (1) より

$7d = 28$

$d = 4$

(1)に代入して

$2a + 6(4) = 7$

$2a + 24 = 7$

$2a = -17$

$a = -\frac{17}{2}$

一般項は、$a_n = a + (n-1)d = -\frac{17}{2} + (n-1)4 = 4n - \frac{25}{2}$

初項から第70項までの和は、$S_{70} = \frac{70}{2}(2a + 69d) = 35(2(-\frac{17}{2}) + 69(4)) = 35(-17 + 276) = 35(259) = 9065$

(2) 3と10の間に$m$個の数を挿入すると、全体の項数は$m+2$となる。

初項は3、末項は10であるから、等差数列の和は

$\frac{m+2}{2}(3+10) = \frac{325}{2}$

$(m+2)(13) = 325$

$m+2 = \frac{325}{13} = 25$

$m = 23$

公差を$d$とすると、

$3 + (m+1)d = 10$

$3 + (23+1)d = 10$

$24d = 7$

$d = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 4n - \frac{25}{2}$

初項から第70項までの和: 9065

(2) $m = 23$, $d = \frac{7}{24}$