次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。 (1) $1 \cdot 1, 2 \cdot 7, 3 \cdot 13, \dots$ (2) $\frac{1}{1 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \dots$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

(1) $1 \cdot 1, 2 \cdot 7, 3 \cdot 13, \dots$

(2) $\frac{1}{1 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列の一般項を求め、その和を計算します。

第 $n$ 項は $n(6n - 5)$ と表せます。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k(6k-5) = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 5k) = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 5\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

を用いると、

$S_n = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)(2n+1) - \frac{5n(n+1)}{2}$

$S_n = n(n+1) \left(2n+1-\frac{5}{2}\right) = n(n+1) \left( \frac{4n+2-5}{2} \right) = n(n+1)\left( \frac{4n-3}{2} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)(4n-3)}{2}$

(2) 数列の一般項を部分分数分解し、その和を計算します。

第 $n$ 項は $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ と表せます。これを部分分数分解すると

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$

$n = \frac{1}{2}$ のとき $1 = 2A \implies A = \frac{1}{2}$

$n = -\frac{1}{2}$ のとき $1 = -2B \implies B = -\frac{1}{2}$

したがって

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{2n}{2n+1} \right) = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(4n-3)}{2}$

(2) $\frac{n}{2n+1}$