次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。 (1) $1 \cdot 1, 2 \cdot 7, 3 \cdot 13, \dots$ (2) $\frac{1}{1 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \dots$

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

(1) $1 \cdot 1, 2 \cdot 7, 3 \cdot 13, \dots$

(2) $\frac{1}{1 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列の第 $k$ 項は $k(6k-5)$ と表せる。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和は、

$\sum_{k=1}^{n} k(6k-5) = \sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 5k) = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 5\sum_{k=1}^{n} k$

$= 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)(2n+1) - \frac{5n(n+1)}{2}$

$= n(n+1) \left(2n+1 - \frac{5}{2}\right) = n(n+1) \left(\frac{4n+2-5}{2}\right) = \frac{n(n+1)(4n-3)}{2}$

(2) 数列の第 $k$ 項は $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ と表せる。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$ と部分分数分解する。

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$

$k = \frac{1}{2}$ を代入すると $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

よって、$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

したがって、初項から第 $n$ 項までの和は、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

$= \frac{1}{2}\left[\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)\right]$

$= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{2n+1-1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{2n}{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(4n-3)}{2}$

(2) $\frac{n}{2n+1}$