与えられた4つの計算問題を解く。 (1) $(\sqrt{3}-2)^2 - 11$ (2) $(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-3) - 4$ (3) $\sqrt{45} - (\sqrt{5}+3)^2$ (4) $(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-1) + \frac{6}{\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの計算問題を解く。

(1) $(\sqrt{3}-2)^2 - 11$

(2) $(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-3) - 4$

(3) $\sqrt{45} - (\sqrt{5}+3)^2$

(4) $(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-1) + \frac{6}{\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{3}-2)^2 - 11$ の計算

まず、$(\sqrt{3}-2)^2$ を展開する。

$(\sqrt{3}-2)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\sqrt{3}$

次に、$7 - 4\sqrt{3} - 11$ を計算する。

$7 - 4\sqrt{3} - 11 = -4 - 4\sqrt{3}$

(2) $(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-3) - 4$ の計算

$(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-3)$ を展開する。これは和と差の積なので、$(\sqrt{2})^2 - 3^2 = 2 - 9 = -7$

次に、$-7 - 4$ を計算する。

$-7 - 4 = -11$

(3) $\sqrt{45} - (\sqrt{5}+3)^2$ の計算

まず、$\sqrt{45}$ を簡単にする。

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

次に、$(\sqrt{5}+3)^2$ を展開する。

$(\sqrt{5}+3)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 3 + 3^2 = 5 + 6\sqrt{5} + 9 = 14 + 6\sqrt{5}$

次に、$3\sqrt{5} - (14 + 6\sqrt{5})$ を計算する。

$3\sqrt{5} - (14 + 6\sqrt{5}) = 3\sqrt{5} - 14 - 6\sqrt{5} = -14 - 3\sqrt{5}$

(4) $(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-1) + \frac{6}{\sqrt{2}}$ の計算

まず、$(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-1)$ を展開する。

$(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3 = 2 - 4\sqrt{2} + 3 = 5 - 4\sqrt{2}$

次に、$\frac{6}{\sqrt{2}}$ を有理化する。

$\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$5 - 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$ を計算する。

$5 - 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-4 - 4\sqrt{3}$

(2) $-11$

(3) $-14 - 3\sqrt{5}$

(4) $5 - \sqrt{2}$