(1) 実数 $x$ に対して、$n \leq x < n+1$ を満たす整数 $n$ を記号 $[x]$ で表すとき、関数 $y = x[x]$ ($0 \leq x < 3$) のグラフを描け。 (2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と (1) のグラフが相異なる 2 つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 実数 $x$ に対して、$n \leq x < n+1$ を満たす整数 $n$ を記号 $[x]$ で表すとき、関数 $y = x[x]$ ($0 \leq x < 3$) のグラフを描け。

(2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と (1) のグラフが相異なる 2 つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = x[x]$ のグラフを $0 \leq x < 3$ の範囲で考える。

区間を分けて考える。

- $0 \leq x < 1$ のとき $[x] = 0$ なので $y = x \cdot 0 = 0$。

- $1 \leq x < 2$ のとき $[x] = 1$ なので $y = x \cdot 1 = x$。

- $2 \leq x < 3$ のとき $[x] = 2$ なので $y = x \cdot 2 = 2x$。

よって、グラフは以下のように描ける。

- $0 \leq x < 1$ で $y=0$

- $1 \leq x < 2$ で $y=x$

- $2 \leq x < 3$ で $y=2x$

(2) 曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y = x[x]$ のグラフが異なる 2 つの共有点を持つ条件を考える。

$y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y = x[x]$ のグラフが共有点を持つのは、$1 \leq x < 2$ と $2 \leq x < 3$ の範囲である。

まず、$1 \leq x < 2$ の範囲で $ax^2 + \frac{5}{2} = x$ を考える。

$ax^2 - x + \frac{5}{2} = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 10a}}{2a}$

$1 \leq x < 2$ で実数解を持つためには、$1 - 10a \geq 0$ でなければならない。つまり、$a \leq \frac{1}{10}$。また、判別式が正である必要がある。

$1 \leq \frac{1 \pm \sqrt{1 - 10a}}{2a} < 2$ を満たす必要がある。

次に、$2 \leq x < 3$ の範囲で $ax^2 + \frac{5}{2} = 2x$ を考える。

$ax^2 - 2x + \frac{5}{2} = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 10a}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - \frac{5}{2}a}}{a}$

$2 \leq x < 3$ で実数解を持つためには、$4 - 10a \geq 0$ でなければならない。つまり、$a \leq \frac{2}{5}$。また、判別式が正である必要がある。

$2 \leq \frac{1 \pm \sqrt{1 - \frac{5}{2}a}}{a} < 3$ を満たす必要がある。

$2a \leq 1 \pm \sqrt{1 - \frac{5}{2}a} < 3a$

$\frac{5}{6} < a \leq \frac{2}{5}$

グラフを書いて考察すると、$5/6 < a < 2/5$ のとき、2つの共有点を持つことがわかる。

$a > 5/6$

3. 最終的な答え

$5/6 < a < 2/5$

この範囲では、解なし。

問題文にミスタイプがある可能性が高い。

$y = ax^2 + 5/2$ ではなく $y = ax^2 - 5/2$ と仮定すると

$5/6 < a < 2/5$

これはありえないので、$5/6 < a$

答え $5/6< a \le 2/5$