全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、$n(U) = 40, n(A) = 18, n(B) = 25, n(A \cap B) = 6$ であるとき、以下の値を求めます。 (1) $n(\overline{B})$ (2) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$ (3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、$n(U) = 40, n(A) = 18, n(B) = 25, n(A \cap B) = 6$ であるとき、以下の値を求めます。

(1) $n(\overline{B})$

(2) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{B})$ を求めます。これは、集合 $B$ に含まれない要素の数を意味します。全体集合 $U$ から $B$ の要素の数を引けば求められます。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B) = 40 - 25 = 15$

(2) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$ を求めます。ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ が成り立ちます。したがって、$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B) = 40 - 6 = 34$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ を求めます。ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ が成り立ちます。したがって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ となります。ここで、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 18 + 25 - 6 = 37$ なので、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(U) - n(A \cup B) = 40 - 37 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{B}) = 15$

(2) $n(\overline{A} \cup \overline{B}) = 34$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 3$