与えられた数式の値を計算します。数式は次の通りです。 $\frac{1}{\sqrt{2}+2} + \frac{1}{2+\sqrt{6}} - \frac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は次の通りです。

$\frac{1}{\sqrt{2}+2} + \frac{1}{2+\sqrt{6}} - \frac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を有理化します。

* $\frac{1}{\sqrt{2}+2} = \frac{\sqrt{2}-2}{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)} = \frac{\sqrt{2}-2}{2-4} = \frac{\sqrt{2}-2}{-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$

* $\frac{1}{2+\sqrt{6}} = \frac{2-\sqrt{6}}{(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})} = \frac{2-\sqrt{6}}{4-6} = \frac{2-\sqrt{6}}{-2} = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$

* $\frac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{(2\sqrt{2}-\sqrt{6})(2\sqrt{2}+\sqrt{6})} = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{8-6} = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{2-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}-2}{2} - \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

分母が共通なので、分子をまとめます。

$\frac{2-\sqrt{2} + \sqrt{6}-2 - (2\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2} = \frac{2-\sqrt{2} + \sqrt{6}-2 - 2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$

$=\frac{-\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{-3\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3\sqrt{2}}{2}$