複素数 $a + bi$ と $c + di$ が与えられたとき、 $(a + bi)(c + di) = 0$ であることと、$a = b = 0$ または $c = d = 0$ であることが同値であることを証明する。

## 問題1

1. 問題の内容

複素数 $a + bi$ と $c + di$ が与えられたとき、

$(a + bi)(c + di) = 0$ であることと、$a = b = 0$ または $c = d = 0$ であることが同値であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$(a + bi)(c + di) = 0$ から、$a = b = 0$ または $c = d = 0$ を導く。

$(a + bi)(c + di) = 0$ を展開すると、

$(ac - bd) + (ad + bc)i = 0$ となる。

複素数が0になるのは、実部と虚部がともに0になるときなので、

$ac - bd = 0$

$ad + bc = 0$

となる。

ここで、$a = b = 0$ の場合、$c$ と $d$ の値に関わらず式は成り立つ。同様に、$c = d = 0$ の場合、$a$ と $b$ の値に関わらず式は成り立つ。

$a$と$b$が0でない場合、$c$と$d$が0でない場合を考える。

$ad + bc = 0$より、$ad = -bc$が得られる。

両辺を2乗すると、$a^2 d^2 = b^2 c^2$となる。

$ac - bd = 0$より、$ac = bd$が得られる。

両辺を2乗すると、$a^2 c^2 = b^2 d^2$となる。

$a^2 d^2 + a^2 c^2 = b^2 c^2 + b^2 d^2$となり、$a^2(c^2 + d^2) = b^2(c^2 + d^2)$となる。

$c^2 + d^2 \ne 0$のとき、$a^2 = b^2$が得られる。したがって、$a = \pm b$となる。

$ad = -bc$に代入すると、$ad = \mp ac$が得られる。

$a \ne 0$より、$d = \mp c$が得られる。

$ac - bd = 0$に代入すると、$ac - b(\mp c) = 0$が得られる。

$ac \pm bc = 0$となる。$c \ne 0$より、$a \pm b = 0$となる。

$a = \mp b$が得られる。

$a=b=0$または$c=d=0$が成り立つ。

次に、$a = b = 0$ または $c = d = 0$ から $(a + bi)(c + di) = 0$ を導く。

$a = b = 0$ の場合、$(a + bi)(c + di) = (0 + 0i)(c + di) = 0(c + di) = 0$

$c = d = 0$ の場合、$(a + bi)(c + di) = (a + bi)(0 + 0i) = (a + bi)0 = 0$

したがって、$a = b = 0$ または $c = d = 0$ ならば $(a + bi)(c + di) = 0$ である。

以上より、$(a + bi)(c + di) = 0$ であることと、$a = b = 0$ または $c = d = 0$ であることが同値であることが示された。

3. 最終的な答え

$(a + bi)(c + di) = 0 \Leftrightarrow a = b = 0 \text{ または } c = d = 0$

## 問題2 （問題文がないため解答不能）

問題文が提供されていないため、解くことができません。

問題文を教えてください。