## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. $\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{4} = \frac{z+x}{5}$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求めよ。 また、$3(x+y)=4(y+z)=5(z+x)$ が与えられています。

2. $a>0$, $b>0$ のとき、不等式 $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) \ge 9$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べよ。

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2. 解き方の手順

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1. の問題

まず、$3(x+y)=4(y+z)=5(z+x) = k$ とおきます。

すると、次の3つの式が得られます。

$x+y = \frac{k}{3}$ ...(1)

$y+z = \frac{k}{4}$ ...(2)

$z+x = \frac{k}{5}$ ...(3)

(1), (2), (3)より、

$2(x+y+z) = \frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{5} = \frac{20k + 15k + 12k}{60} = \frac{47k}{60}$

よって、$x+y+z = \frac{47k}{120}$ ...(4)

(4) - (2)より、$x = \frac{47k}{120} - \frac{k}{4} = \frac{47k - 30k}{120} = \frac{17k}{120}$

(4) - (3)より、$y = \frac{47k}{120} - \frac{k}{5} = \frac{47k - 24k}{120} = \frac{23k}{120}$

(4) - (1)より、$z = \frac{47k}{120} - \frac{k}{3} = \frac{47k - 40k}{120} = \frac{7k}{120}$

したがって、$x = \frac{17k}{120}, y = \frac{23k}{120}, z = \frac{7k}{120}$

これらを $\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ に代入すると、

$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} = \frac{(\frac{17k}{120})(\frac{23k}{120}) + (\frac{23k}{120})(\frac{7k}{120}) + (\frac{7k}{120})(\frac{17k}{120})}{(\frac{17k}{120})^2 + (\frac{23k}{120})^2 + (\frac{7k}{120})^2} = \frac{17\cdot23 + 23\cdot7 + 7\cdot17}{17^2 + 23^2 + 7^2} = \frac{391 + 161 + 119}{289 + 529 + 49} = \frac{671}{867}$

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2. の問題

$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) = 1 + \frac{4a}{b} + \frac{b}{a} + 4 = 5 + \frac{4a}{b} + \frac{b}{a}$

相加相乗平均の不等式より、$\frac{4a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{4a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\sqrt{4} = 4$

よって、$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) = 5 + \frac{4a}{b} + \frac{b}{a} \ge 5 + 4 = 9$

したがって、$(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) \ge 9$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$\frac{4a}{b} = \frac{b}{a}$ のときなので、$4a^2 = b^2$

$a>0$, $b>0$ より、$2a = b$のとき、等号が成り立つ。

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3. 最終的な答え

1. $\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} = \frac{671}{867}$

2. $(a+b)(\frac{1}{a} + \frac{4}{b}) \ge 9$　（証明完了）

等号が成り立つのは、$b=2a$ のとき。