$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\cos{\alpha} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\sin{2\alpha}$, $\cos{2\alpha}$, $\tan{2\alpha}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\cos{\alpha} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\sin{2\alpha}$, $\cos{2\alpha}$, $\tan{2\alpha}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin{2\alpha}$ の計算

まず、$\sin{\alpha}$ を求めます。$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\sin{\alpha} > 0$ です。三角関数の基本的な関係式 $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ より、

$\sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha} = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

したがって、$\sin{\alpha} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ となります。

次に、2倍角の公式 $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ を用います。

$\sin{2\alpha} = 2\left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

(2) $\cos{2\alpha}$ の計算

2倍角の公式 $\cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1$ を用います。

$\cos{2\alpha} = 2\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{5}{9}\right) - 1 = \frac{10}{9} - 1 = \frac{1}{9}$

(3) $\tan{2\alpha}$ の計算

$\tan{2\alpha} = \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$ を用います。

$\tan{2\alpha} = \frac{-\frac{4\sqrt{5}}{9}}{\frac{1}{9}} = -4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{2\alpha} = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

(2) $\cos{2\alpha} = \frac{1}{9}$

(3) $\tan{2\alpha} = -4\sqrt{5}$