2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの正の解を $\alpha, \beta$ とおきます。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2m$

$\alpha \beta = m + 6$

となります。

$\alpha, \beta$ が正の解であるという条件から、

$\alpha + \beta > 0$ (①)

$\alpha \beta > 0$ (②)

が成り立ちます。

(①)より、 $-2m > 0$ なので、$m < 0$ となります。したがって、[1]は $-2m$ です。

(②)より、$m + 6 > 0$ なので、$m > -6$ となります。したがって、[2]は $m+6$ です。

また、$\alpha, \beta$ は異なる実数なので、判別式 $D$ について、$D > 0$ が成り立ちます。$D/4 = m^2 - (m+6) > 0$ より、

$m^2 - m - 6 > 0$

$(m - 3)(m + 2) > 0$

よって、$m < -2$ または $m > 3$ となります。したがって、[3]は $m^2-m-6$です。

以上の3つの条件、$m < 0$ 、$m > -6$ 、$m < -2$ または $m > 3$ を満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < 0$ と $m > -6$ より、$-6 < m < 0$ となります。

これと、$m < -2$ または $m > 3$ を合わせて考えると、$-6 < m < -2$ となります。

3. 最終的な答え

-6 < m < -2