2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

異なる2つの正の解を $\alpha$, $\beta$ とおく。

ステップ1：解と係数の関係より $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を $m$ で表し、$\alpha + \beta > 0$ および $\alpha\beta > 0$ となる条件を求める。

$\alpha + \beta = -2m$ なので、$-2m > 0$ より、$m < 0$ ...(1)

$\alpha\beta = m + 6$ なので、$m + 6 > 0$ より、$m > -6$ ...(2)

ステップ2：2つの解が異なる実数である条件から、判別式 $D$ を計算し、$D/4 > 0$ となる条件を求める。

$D/4 = m^2 - (m+6) = m^2 - m - 6 > 0$

$(m-3)(m+2) > 0$

したがって、$m < -2$ または $m > 3$ ...(3)

ステップ3：(1), (2), (3) のすべての条件を満たす $m$ の範囲を求める。

(1) より $m < 0$

(2) より $m > -6$

(3) より $m < -2$ または $m > 3$

これらをすべて満たす範囲は $-6 < m < -2$ である。

3. 最終的な答え

$\alpha + \beta = -2m$ より、 1 は -2m

$\alpha\beta = m+6$ より、2 は m+6

$\frac{D}{4} > 0$ より、$m^2 - m - 6 > 0$, $(m-3)(m+2) > 0$ よって、3は $m<-2, 3<m$

以上より、4は $-6 < m < -2$

1: ①

2: ④

3: ⑤

4: ⑧