与えられた2つの等式を証明します。 (1) $x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ (2) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの等式を証明します。

(1) $x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

(2) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$

2. 解き方の手順

(1)

右辺を展開します。

$(x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) - (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

$= (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x) - (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

$= x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x - x^4 - x^3 - x^2 - x - 1$

$= x^5 - 1$

したがって、$x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ が証明されました。

(2)

右辺を展開します。

$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (ac)^2 + 2acbd + (bd)^2 + (ad)^2 - 2adbc + (bc)^2$

$= a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2$

$= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$

$= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

$= a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2)$

$= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$

したがって、$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ が証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

(2) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$