2次方程式 $x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ (2) $\alpha^2 + \beta^2$ と $\alpha^3 + \beta^3$ (3) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ と $\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha}$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$

(2) $\alpha^2 + \beta^2$ と $\alpha^3 + \beta^3$

(3) $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ と $\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha}$

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -4$$

$$\alpha\beta = 1$$

(1)

$\alpha + \beta = -4$

$\alpha\beta = 1$

(2)

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-4)^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) = (-4)((-4)^2 - 3(1)) = (-4)(16 - 3) = (-4)(13) = -52$

(3)

$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{14}{1} = 14$

$\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha\beta} = \frac{-52}{1} = -52$

3. 最終的な答え

(1)

$\alpha + \beta = -4$

$\alpha\beta = 1$

(2)

$\alpha^2 + \beta^2 = 14$

$\alpha^3 + \beta^3 = -52$

(3)

$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = 14$

$\frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = -52$