2次方程式 $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a = 0$ が $x<0$ の範囲と $x>1$ の範囲にそれぞれ1つずつ解を持つような、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a = 0$ が $x<0$ の範囲と $x>1$ の範囲にそれぞれ1つずつ解を持つような、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a$ とおきます。この2次方程式が $x<0$ と $x>1$ の範囲にそれぞれ1つずつ解を持つためには、$f(0)$ と $f(1)$ が異符号である必要があります。つまり、$f(0)f(1) < 0$ が成立すればよいです。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = 0^2 - 2(a+1)(0) + a^2 + 2a = a^2 + 2a$

次に、$f(1)$ を計算します。

$f(1) = 1^2 - 2(a+1)(1) + a^2 + 2a = 1 - 2a - 2 + a^2 + 2a = a^2 - 1$

$f(0)f(1) < 0$ より、

$(a^2 + 2a)(a^2 - 1) < 0$

$a(a+2)(a-1)(a+1) < 0$

この不等式を解くために、$a(a+2)(a-1)(a+1) = 0$ の解を求めると、$a = -2, -1, 0, 1$ となります。これらの解を数直線上に並べ、各区間における $a(a+2)(a-1)(a+1)$ の符号を調べます。

- $a < -2$ のとき、符号は $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) = +$

- $-2 < a < -1$ のとき、符号は $(-) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) = -$

- $-1 < a < 0$ のとき、符号は $(-) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (+) = +$

- $0 < a < 1$ のとき、符号は $(+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (+) = -$

- $a > 1$ のとき、符号は $(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) = +$

したがって、$a(a+2)(a-1)(a+1) < 0$ となる $a$ の範囲は、$-2 < a < -1$ または $0 < a < 1$ です。

3. 最終的な答え

$-2 < a < -1$ または $0 < a < 1$