$ \frac{y+z}{x} = \frac{z+x}{y} = \frac{x+y}{z} $ のとき、この式の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{y+z}{x} = \frac{z+x}{y} = \frac{x+y}{z}$ のとき、この式の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式を $k$ とおきます。

$\frac{y+z}{x} = \frac{z+x}{y} = \frac{x+y}{z} = k$

この式から、以下の3つの式が得られます。

$y+z = kx$

$z+x = ky$

$x+y = kz$

これらをすべて足し合わせると、

$(y+z) + (z+x) + (x+y) = kx + ky + kz$

$2x + 2y + 2z = k(x+y+z)$

$2(x+y+z) = k(x+y+z)$

ここで、$x+y+z \neq 0$ の場合と、$x+y+z = 0$ の場合に分けて考えます。

(1) $x+y+z \neq 0$ の場合

両辺を $x+y+z$ で割ると、

$k = 2$

(2) $x+y+z = 0$ の場合

このとき、$y+z = -x$, $z+x = -y$, $x+y = -z$ となります。

したがって、

$\frac{y+z}{x} = \frac{-x}{x} = -1$

$\frac{z+x}{y} = \frac{-y}{y} = -1$

$\frac{x+y}{z} = \frac{-z}{z} = -1$

よって、$k = -1$

したがって、$k = 2$ または $k = -1$

3. 最終的な答え

与えられた式の値は、2または-1です。