与えられた2つの式を展開する問題です。 (1) $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$ (2) $(a-b)^2(a+b)^2(a^2+b^2)^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を展開する問題です。

(1) $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$

(2) $(a-b)^2(a+b)^2(a^2+b^2)^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(x-y)(x+y)$を計算します。これは和と差の積の公式 $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ を使って、$x^2-y^2$になります。

次に、$(x^2-y^2)(x^2+y^2)$を計算します。これも和と差の積の公式を使って、$x^4-y^4$になります。

最後に、$(x^4-y^4)(x^4+y^4)$を計算します。これも和と差の積の公式を使って、$x^8-y^8$になります。

(2)

まず、$(a-b)^2(a+b)^2$を計算します。これは$((a-b)(a+b))^2 = (a^2-b^2)^2$と変形できます。

$(a^2-b^2)^2$を展開すると、$(a^2)^2 - 2a^2b^2 + (b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$となります。

次に、$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^2+b^2)^2$を計算します。

$(a^2+b^2)^2$を展開すると、$(a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$となります。

したがって、$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^4 + 2a^2b^2 + b^4)$を計算します。これは$(a^4 + b^4 - 2a^2b^2)(a^4 + b^4 + 2a^2b^2)$と変形できるので、$A=a^4+b^4, B=2a^2b^2$ とおくと $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ となります。

$A^2 = (a^4+b^4)^2 = a^8 + 2a^4b^4 + b^8$

$B^2 = (2a^2b^2)^2 = 4a^4b^4$

したがって、$A^2 - B^2 = a^8 + 2a^4b^4 + b^8 - 4a^4b^4 = a^8 - 2a^4b^4 + b^8$となります。

これはさらに$(a^4-b^4)^2$、あるいは $((a^2)^2-(b^2)^2)^2 = (a^2-b^2)^2(a^2+b^2)^2 = (a-b)^2(a+b)^2(a^2+b^2)^2$　となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^8 - y^8$

(2) $a^8 - 2a^4b^4 + b^8$