三角形ABCの外心をO、重心をGとする。$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$ が与えられているとき、以下の問いに答える。 (1) 点O, G, Hが一直線上にあることを証明する。 (2) Hが三角形ABCの垂心であることを証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心をO、重心をGとする。$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$ が与えられているとき、以下の問いに答える。

(1) 点O, G, Hが一直線上にあることを証明する。

(2) Hが三角形ABCの垂心であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 点O, G, Hが一直線上にあることの証明：

重心Gの性質より、$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$ である。

与えられた条件 $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$ より、$\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$ が成り立つ。

これは、$\overrightarrow{OH}$ が $\overrightarrow{OG}$ の定数倍であることを意味するので、O, G, Hは一直線上にある。

(2) Hが三角形ABCの垂心であることの証明：

$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \cdot (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) = |\overrightarrow{OC}|^2 - |\overrightarrow{OB}|^2$

Oは三角形ABCの外心なので、$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$ である。

したがって、$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{OC}|^2 - |\overrightarrow{OB}|^2 = 0$ となり、$\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}$ が成り立つ。

同様に、

$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OB} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) \cdot (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) = |\overrightarrow{OA}|^2 - |\overrightarrow{OC}|^2$

Oは三角形ABCの外心なので、$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$ である。

したがって、$\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{OA}|^2 - |\overrightarrow{OC}|^2 = 0$ となり、$\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{CA}$ が成り立つ。

$\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}$ かつ $\overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{CA}$ であるから、Hは三角形ABCの垂心である。

3. 最終的な答え

(1) O, G, Hは一直線上にある。

(2) Hは三角形ABCの垂心である。