三角形ABCにおいて、辺AB = 3cm, 辺BC = 8cm, 角B = 60°が与えられている。以下の問いに答える。 (1) 辺ACの長さを求めよ。 (2) 三角形ABCの面積を求めよ。 (3) 三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AB = 3cm, 辺BC = 8cm, 角B = 60°が与えられている。以下の問いに答える。

(1) 辺ACの長さを求めよ。

(2) 三角形ABCの面積を求めよ。

(3) 三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 辺ACの長さを求める。

余弦定理を用いて辺ACの長さを求める。余弦定理は以下のように表される。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

与えられた値を代入する。

$AC^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos{60^\circ}$

$AC^2 = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 73 - 24$

$AC^2 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

(2) 三角形ABCの面積を求める。

三角形の面積の公式を用いる。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B}$

与えられた値を代入する。

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin{60^\circ}$

$S = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 6\sqrt{3}$

(3) 三角形ABCの外接円の半径を求める。

正弦定理を用いる。

$\frac{AC}{\sin{B}} = 2R$ (Rは外接円の半径)

$AC = 7$ , $B = 60^\circ$なので、

$\frac{7}{\sin{60^\circ}} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{14}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 辺ACの長さ: 7cm

(2) 三角形ABCの面積: $6\sqrt{3} cm^2$

(3) 三角形ABCの外接円の半径: $\frac{7\sqrt{3}}{3} cm$