三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $BC = 8$, $AC = 5$である。$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$D$とする。線分$BD$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $BC = 8$, $AC = 5$である。$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$D$とする。線分$BD$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle A$の二等分線が辺$BC$と交わる点を$D$とするとき、角の二等分線の定理より、

$AB : AC = BD : DC$

が成り立つ。

$AB = 7$, $AC = 5$, $BC = 8$なので、$BD : DC = 7 : 5$となる。

$BD = x$とすると、$DC = 8 - x$であるから、

$x : (8 - x) = 7 : 5$

が成り立つ。

内項の積と外項の積は等しいので、

$5x = 7(8 - x)$

$5x = 56 - 7x$

$12x = 56$

$x = \frac{56}{12} = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$BD = \frac{14}{3}$