$n$ が正の整数のとき、$n > 3$ ならば、$n! > 2^n$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。

1. 問題の内容

$n$ が正の整数のとき、$n > 3$ ならば、$n! > 2^n$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n = 4$ のとき、$4! = 24$、$2^4 = 16$ であり、$4! > 2^4$ が成り立つ。

(2) $n = k$ ($k > 3$) のとき、$k! > 2^k$ が成り立つと仮定する。

(3) $n = k+1$ のとき、$(k+1)! > 2^{k+1}$ を示す。

仮定より、$k! > 2^k$ である。

両辺に $k+1$ をかけると、

$(k+1)! > (k+1) \cdot 2^k$

ここで、$k > 3$ より、$k+1 > 4 > 2$ であるから、

$(k+1)! > (k+1) \cdot 2^k > 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}$

よって、$(k+1)! > 2^{k+1}$ が成り立つ。

(1)(2)(3)より、数学的帰納法により、$n > 3$ のとき、$n! > 2^n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$n > 3$ のとき、$n! > 2^n$ が成り立つ。