$n$ を自然数とするとき、$n^3 + 5n$ が6の倍数であることを証明します。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$n^3 + 5n$ が6の倍数であることを証明します。

2. 解き方の手順

まず、$n^3 + 5n$ を因数分解します。

$n^3 + 5n = n(n^2 + 5)$

次に、$n(n^2 + 5)$ が6の倍数であることを示すために、$n(n^2 + 5)$ が2の倍数かつ3の倍数であることを示します。

(i) $n(n^2 + 5)$ が2の倍数であること：

$n$ が偶数のとき、$n$ は2の倍数であるため、$n(n^2 + 5)$ も2の倍数です。

$n$ が奇数のとき、$n^2$ も奇数であり、$n^2 + 5$ は偶数になります。したがって、$n^2 + 5$ は2の倍数であるため、$n(n^2 + 5)$ も2の倍数です。

よって、$n$ が偶数でも奇数でも、$n(n^2 + 5)$ は2の倍数です。

(ii) $n(n^2 + 5)$ が3の倍数であること：

$n$ が3の倍数のとき、$n$ は3の倍数であるため、$n(n^2 + 5)$ も3の倍数です。

$n$ が3の倍数でないとき、$n$ は $3k+1$ または $3k+2$ の形で表されます（$k$ は整数）。

- $n = 3k+1$ のとき、$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1$ なので、$n^2 + 5 = 9k^2 + 6k + 6 = 3(3k^2 + 2k + 2)$ となり、$n^2 + 5$ は3の倍数です。したがって、$n(n^2 + 5)$ も3の倍数です。

- $n = 3k+2$ のとき、$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4$ なので、$n^2 + 5 = 9k^2 + 12k + 9 = 3(3k^2 + 4k + 3)$ となり、$n^2 + 5$ は3の倍数です。したがって、$n(n^2 + 5)$ も3の倍数です。

よって、$n$ が3の倍数でもそうでないときでも、$n(n^2 + 5)$ は3の倍数です。

(i) と (ii) より、$n(n^2 + 5)$ は2の倍数かつ3の倍数なので、6の倍数です。

3. 最終的な答え

したがって、$n^3 + 5n$ は6の倍数である。