$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ のとき、関数 $y = \sin x \cos x + 2\cos^2 x$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ のとき、関数 $y = \sin x \cos x + 2\cos^2 x$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を変形します。

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いると、

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y = \frac{1}{2} \sin 2x + 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} \sin 2x + 1 + \cos 2x

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$t = 2x$ とおくと、$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ より、$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$。

このとき、

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y = \frac{1}{2} \sin t + \cos t + 1

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さらに変形すると、

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y = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1^2} \sin(t+\alpha) + 1 = \frac{\sqrt{5}}{2} \sin(t+\alpha) + 1

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ここで、$\alpha$ は $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5/4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin \alpha = \frac{1/2}{\sqrt{5/4}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ を満たす角です。

$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ なので、$\alpha \le t+\alpha \le \frac{\pi}{2} + \alpha$ です。

$\sin$ はこの区間で単調増加なので、$t+\alpha = \frac{\pi}{2}$、つまり $t=\frac{\pi}{2}-\alpha$のときに最大値を取り、$t = \alpha$のときに最小値を取ります。

しかし、$\sin(t+\alpha)$の範囲を考えると、$t+\alpha = \frac{\pi}{2}$の時に$\sin(t+\alpha)=1$なので最大値は$\frac{\sqrt{5}}{2}+1$。

$t=0$で最小値を取るとき$\frac{\sqrt{5}}{2} \sin \alpha + 1 = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$。

$t=\frac{\pi}{2}$のとき$\frac{\sqrt{5}}{2} \sin (\frac{\pi}{2}+\alpha) + 1 = \frac{\sqrt{5}}{2} \cos \alpha + 1 = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + 1 = 1 + 1 = 2$。

$t=0$のとき、$y = \frac{1}{2} \sin 0 + \cos 0 + 1 = 0 + 1 + 1 = 2$。

$t = \frac{\pi}{2}$のとき、$y = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} + 1 = \frac{1}{2} + 0 + 1 = \frac{3}{2}$。

$x=0$のとき、$y = \sin 0 \cos 0 + 2 \cos^2 0 = 0 + 2 \cdot 1 = 2$。

$x=\frac{\pi}{4}$のとき、$y = \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} + 2 \cos^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$。

3. 最終的な答え

最大値: 2

最小値: 3/2