関数 $y = \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2}$ を微分して、$y'$を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2}$ を微分して、$y'$を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y$ を微分するために、対数微分法を用います。

まず、$y$ の両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2} = \log x^4 - \log (x+1)^2 - \log (x-1)^2$

対数の性質を用いて、式を整理します。

$\log y = 4\log x - 2\log (x+1) - 2\log (x-1)$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} - \frac{2}{x+1} - \frac{2}{x-1}$

右辺を通分して整理します。

$\frac{y'}{y} = \frac{4(x+1)(x-1) - 2x(x-1) - 2x(x+1)}{x(x+1)(x-1)}$

$\frac{y'}{y} = \frac{4(x^2 - 1) - 2x^2 + 2x - 2x^2 - 2x}{x(x+1)(x-1)}$

$\frac{y'}{y} = \frac{4x^2 - 4 - 4x^2}{x(x+1)(x-1)}$

$\frac{y'}{y} = \frac{-4}{x(x+1)(x-1)}$

$y'$ を求めるために、$y$ を右辺にかけます。

$y' = \frac{-4}{x(x+1)(x-1)}y = \frac{-4}{x(x+1)(x-1)} \cdot \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2}$

$y'$ を整理します。

$y' = \frac{-4x^3}{(x+1)^3(x-1)^3}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-4x^3}{(x+1)^3(x-1)^3}$