関数 $y = \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の両辺の対数をとります。

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\log y = \log \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2}

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対数の性質を使って展開します。

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\log y = \log x^4 - \log (x+1)^2 - \log (x-1)^2

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さらに変形します。

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\log y = 4 \log x - 2 \log (x+1) - 2 \log (x-1)

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次に、両辺を $x$ で微分します。

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\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} - \frac{2}{x+1} - \frac{2}{x-1}

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$y'$ について解きます。

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y' = y \left( \frac{4}{x} - \frac{2}{x+1} - \frac{2}{x-1} \right)

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$y = \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2}$ を代入します。

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y' = \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2} \left( \frac{4}{x} - \frac{2}{x+1} - \frac{2}{x-1} \right)

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y' = \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2} \left( \frac{4}{x} - \frac{2(x-1) + 2(x+1)}{(x+1)(x-1)} \right)

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y' = \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2} \left( \frac{4}{x} - \frac{4x}{(x+1)(x-1)} \right)

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y' = \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2} \left( \frac{4(x^2-1)-4x^2}{x(x+1)(x-1)} \right)

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y' = \frac{x^4}{(x+1)^2(x-1)^2} \left( \frac{-4}{x(x+1)(x-1)} \right)

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y' = \frac{-4x^3}{(x+1)^3(x-1)^3}

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3. 最終的な答え

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y' = \frac{-4x^3}{(x+1)^3(x-1)^3}

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