関数 $y = f(x) = (\log x)^2$ (ただし $x>0$) の極値を求めよ。極値がない場合は「なし」と答え、極値がある場合はその値と極大値か極小値かを示せ。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = (\log x)^2$ (ただし $x>0$) の極値を求めよ。極値がない場合は「なし」と答え、極値がある場合はその値と極大値か極小値かを示せ。

2. 解き方の手順

1. まず、関数 $y = (\log x)^2$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

2. $y' = 0$ となる $x$ の値を求め、極値の候補とする。

3. $y''$を計算し、$y' = 0$となる$x$の値を代入して、極大値か極小値かを判断する。

4. もし$y'' > 0$ならば極小値、$y'' < 0$ならば極大値となる。

5. 極値の候補となる$x$の値を元の関数に代入し、極値を求める。

$y = (\log x)^2$

$y' = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x}$

$y' = \frac{2\log x}{x}$

$y' = 0$ となるのは、$\frac{2\log x}{x} = 0$のとき。

$2\log x = 0$

$\log x = 0$

$x = 1$

次に、二階導関数を計算する。

$y'' = \frac{d}{dx} \left(\frac{2\log x}{x}\right)$

$y'' = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - 2\log x \cdot 1}{x^2}$

$y'' = \frac{2 - 2\log x}{x^2}$

$x=1$のとき

$y'' = \frac{2 - 2\log 1}{1^2} = \frac{2 - 0}{1} = 2 > 0$

したがって、$x = 1$ で極小値をとる。

$x = 1$ のとき、

$y = (\log 1)^2 = 0^2 = 0$

したがって、極小値は0である。

3. 最終的な答え

$x=1$で極小値0をとる。