$(a+b+c)$ の展開式において、次の項の係数を求める問題です。 (1) $a^3bc^2$ (2) $a^2b^2c^2$

1. 問題の内容

$(a+b+c)$ の展開式において、次の項の係数を求める問題です。

(1) $a^3bc^2$

(2) $a^2b^2c^2$

2. 解き方の手順

多項定理を用いて展開式の一般項を求めます。

$(a+b+c)^n$ の展開式の一般項は、

$$\frac{n!}{p!q!r!}a^pb^qc^r$$

ここで、$p+q+r = n$ です。

(1) $a^3bc^2$ の項について

$a^3bc^2$ ということは、$p=3, q=1, r=2$ であり、$n=p+q+r = 3+1+2 = 6$ です。したがって、 $(a+b+c)^6$ の展開式における $a^3bc^2$ の項の係数は、

$$\frac{6!}{3!1!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)(2 \times 1)} = \frac{720}{12} = 60$$

(2) $a^2b^2c^2$ の項について

$a^2b^2c^2$ ということは、$p=2, q=2, r=2$ であり、$n=p+q+r = 2+2+2 = 6$ です。したがって、 $(a+b+c)^6$ の展開式における $a^2b^2c^2$ の項の係数は、

$$\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{720}{8} = 90$$

3. 最終的な答え

(1) $a^3bc^2$ の係数は $60$

(2) $a^2b^2c^2$ の係数は $90$