$(a+b)^6$ の展開式における $a^2b^4$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

$(a+b)^6$ の展開式における $a^2b^4$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

二項定理を用いる。二項定理は次のように表される。

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数であり、

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

で計算される。

今回は、$n=6$ であり、$a^2b^4$の係数を求めたいので、$n-k=2$ かつ $k=4$ となる。

したがって、$k=4$ を上記の二項係数の式に代入すると、

$$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

3. 最終的な答え

15