$3^{100}$ を 13 で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

$3^{100}$ を 13 で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、$3^n$ を 13 で割った余りがどのように変化するかを調べる。

$3^1 = 3$ を 13 で割った余りは 3。

$3^2 = 9$ を 13 で割った余りは 9。

$3^3 = 27$ を 13 で割った余りは 1。

$3^4 = 81$ を 13 で割った余りは 3。

$3^5 = 243$ を 13 で割った余りは 9。

$3^6 = 729$ を 13 で割った余りは 1。

余りが 3, 9, 1, 3, 9, 1, ... と繰り返されることがわかる。

したがって、$3^n$ を 13 で割った余りは、$n$ を 3 で割った余りによって決まる。

$n$ を 3 で割った余りが 1 ならば、余りは 3。

$n$ を 3 で割った余りが 2 ならば、余りは 9。

$n$ を 3 で割った余りが 0 ならば、余りは 1。

今、$n = 100$ なので、100 を 3 で割ると、

$100 = 33 \times 3 + 1$

したがって、100 を 3 で割った余りは 1 である。

よって、$3^{100}$ を 13 で割った余りは 3 である。

3. 最終的な答え

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