与えられた2つの式がどのような図形を表すかを答える問題です。 (1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ (2) $x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの式がどのような図形を表すかを答える問題です。

(1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$

(2) $x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$

2. 解き方の手順

円の方程式の一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ を平方完成によって $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形に変形し、中心 $(a, b)$ と半径 $r$ を求めます。

もし $r^2 > 0$ であれば円を表し、$r^2 = 0$ であれば点を表し、$r^2 < 0$ であれば図形を表しません。

(1)

$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) - 4 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) - 4 - 4 - 1 = 0$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$

(2)

$x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$

$(x^2 + 6x) + (y^2 + 8y) + 9 = 0$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) + 9 - 9 - 16 = 0$

$(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$

$(x - (-3))^2 + (y - (-4))^2 = 4^2$

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(-2, 1)$, 半径 $3$ の円

(2) 中心 $(-3, -4)$, 半径 $4$ の円