長方形ABCDがあり、AB=8cm, BC=4cmである。点Pは毎秒2cmの速さでAからB, C, Dへと移動する。点PがAを出発してからの時間t秒後の三角形APDの面積をx $cm^2$とする。 (1) 点Pが辺AB上を動くとき、xをtの式で表す。 (2) 点Pが辺BC上を動くとき、xをtの式で表す。 (3) 点Pが辺CD上を動くとき、xをtの式で表す。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=8cm, BC=4cmである。点Pは毎秒2cmの速さでAからB, C, Dへと移動する。点PがAを出発してからの時間t秒後の三角形APDの面積をx $cm^2$とする。

(1) 点Pが辺AB上を動くとき、xをtの式で表す。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、xをtの式で表す。

(3) 点Pが辺CD上を動くとき、xをtの式で表す。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが辺AB上を動くとき

APの長さは $2t$ cmである。

三角形APDの面積xは、

$x = \frac{1}{2} \times AD \times AP = \frac{1}{2} \times 8 \times 2t = 8t$

(2) 点Pが辺BC上を動くとき

点PがBに到達するまでの時間は $\frac{4}{2} = 2$ 秒である。

点PがCに到達するまでの時間は $2 + \frac{8}{2} = 6$ 秒である。

よって、$2 \le t \le 6$である。

三角形APDの面積xは、

$x = \frac{1}{2} \times AD \times AB - \frac{1}{2} \times AP \times AB = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$ となる。

APの長さを求める。AP = AB + BP = 4 + 2(t-2) = 4 + 2t -4 = 2t

三角形APDの面積は、長方形ABCDの面積から三角形ABP、三角形PCDを引いたものである。

$x = AD \times AB - \frac{1}{2} AP \times AD - \frac{1}{2} AB \times PC$

$x = 8 \times 4 - \frac{1}{2} (2t) \times 8 - \frac{1}{2} (8) \times (6-t) * 2$

$= 32 - 8t - 8 (6-t)$

$x = \frac{1}{2} \times AD \times AB = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$となる。

台形APCDの面積は

$x = \frac{1}{2} (AP+DC) * AD$

三角形APDの面積xは、ADを底辺としたとき、高さが常に4であるので、面積は常に16。

APの長さは、4+2(t-2)=2t

点PはBC上にあるため、AB+BP = 4+2t

PがBC上にあるので、三角形APDの面積は、PからADまでの距離が常にABの長さに等しく4cmなので、

三角形APDの面積 = $1/2*AD*4=1/2*8*4 = 16$

(3) 点Pが辺CD上を動くとき

PがCD上にあるので、PDの長さは、8-2(t-6) = 20-2t

三角形APDの面積 = 1/2*8*(20-2t) = 80-8t

3. 最終的な答え

(1) x = 8t

(2) x = 16

(3) x = 80-8t