位置 $x$ が時間 $t$ の関数 $x(t)$ で与えられているとき、その逆関数 $t(x)$ を用いて、速度 $v$ で運動する物体の加速度 $a$ が、 $a = -v^3 \frac{d^2 t}{dx^2}$ と表されることを示す。さらに、等加速度運動 $x(t) = \frac{1}{2}gt^2$ の場合に、この関係が成り立つことを確認する。

1. 問題の内容

位置 $x$ が時間 $t$ の関数 $x(t)$ で与えられているとき、その逆関数 $t(x)$ を用いて、速度 $v$ で運動する物体の加速度 $a$ が、

$a = -v^3 \frac{d^2 t}{dx^2}$

と表されることを示す。さらに、等加速度運動 $x(t) = \frac{1}{2}gt^2$ の場合に、この関係が成り立つことを確認する。

2. 解き方の手順

(1) 加速度 $a$ を $v$ と $x$ の関数として表す。まず、速度 $v$ は位置 $x$ の時間微分で与えられるので、

$v = \frac{dx}{dt}$

次に、加速度 $a$ は速度 $v$ の時間微分で与えられるので、

$a = \frac{dv}{dt}$

これを $x$ の微分で表すために、連鎖律を用いると、

$a = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$

ここで、$\frac{dv}{dx}$ を $t(x)$ を用いて表すことを考える。$v = \frac{dx}{dt}$ より、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$ である。したがって、

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{dx}{dt}) = \frac{d}{dx} (\frac{1}{dt/dx}) = \frac{d}{dx} ((\frac{dt}{dx})^{-1}) = - (\frac{dt}{dx})^{-2} \frac{d^2 t}{dx^2} = -v^2 \frac{d^2 t}{dx^2}$

これを $a$ の式に代入すると、

$a = v \frac{dv}{dx} = v(-v^2 \frac{d^2 t}{dx^2}) = -v^3 \frac{d^2 t}{dx^2}$

これで、加速度が $a = -v^3 \frac{d^2 t}{dx^2}$ と表されることが示された。

(2) 等加速度運動 $x(t) = \frac{1}{2}gt^2$ の場合を考える。まず、この式から $t(x)$ を求めると、

$t(x) = \sqrt{\frac{2x}{g}}$

次に、$\frac{d^2 t}{dx^2}$ を計算する。

$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{2x}{g})^{-1/2} \cdot \frac{2}{g} = \frac{1}{\sqrt{2gx}}$

$\frac{d^2 t}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{\sqrt{2gx}}) = \frac{d}{dx} ((2g)^{-1/2} x^{-1/2}) = (2g)^{-1/2} (-\frac{1}{2}) x^{-3/2} = -\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2g}} x^{-3/2} = -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2g}} x^{-3/2}$

また、速度 $v$ は

$v = \frac{dx}{dt} = gt$

であるので、$t = \sqrt{\frac{2x}{g}}$ より、

$v = g \sqrt{\frac{2x}{g}} = \sqrt{2gx}$

したがって、

$-v^3 \frac{d^2 t}{dx^2} = - (\sqrt{2gx})^3 (-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2g}} x^{-3/2}) = (2gx)^{3/2} \frac{1}{2 \sqrt{2gx^3}} = \frac{(2gx)^{3/2}}{2 (2gx)^{1/2} x} = \frac{2gx}{2x} = g$

これは等加速度運動の加速度に等しい。

3. 最終的な答え

加速度は $a = -v^3 \frac{d^2 t}{dx^2}$ で表される。等加速度運動の場合、$x(t) = \frac{1}{2}gt^2$ を用いて計算した結果も $a = g$ となり、上記の関係が成り立つことが確認された。