3次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=-1$ で極大値3をとり、$x=2$ で極小値-6をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=-1$ で極大値3をとり、$x=2$ で極小値-6をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から以下のことがわかる。

(1) $y(-1) = 3$

(2) $y(2) = -6$

(3) $y'(-1) = 0$

(4) $y'(2) = 0$

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ を微分すると、$y' = 3ax^2 + 2bx + c$となる。

条件(1)から

$-a + b - c + d = 3$ ...(5)

条件(2)から

$8a + 4b + 2c + d = -6$ ...(6)

条件(3)から

$3a - 2b + c = 0$ ...(7)

条件(4)から

$12a + 4b + c = 0$ ...(8)

(8)-(7) より

$9a + 6b = 0$

$3a + 2b = 0$

$b = -\frac{3}{2}a$ ...(9)

(7)に(9)を代入して

$3a - 2(-\frac{3}{2}a) + c = 0$

$3a + 3a + c = 0$

$c = -6a$ ...(10)

(5)に(9)と(10)を代入して

$-a - \frac{3}{2}a - (-6a) + d = 3$

$-a - \frac{3}{2}a + 6a + d = 3$

$\frac{-2a - 3a + 12a}{2} + d = 3$

$\frac{7}{2}a + d = 3$

$d = 3 - \frac{7}{2}a$ ...(11)

(6)に(9),(10),(11)を代入して

$8a + 4(-\frac{3}{2}a) + 2(-6a) + (3 - \frac{7}{2}a) = -6$

$8a - 6a - 12a + 3 - \frac{7}{2}a = -6$

$-10a - \frac{7}{2}a = -9$

$-20a - 7a = -18$

$-27a = -18$

$a = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

(9)より

$b = -\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = -1$

(10)より

$c = -6 \cdot \frac{2}{3} = -4$

(11)より

$d = 3 - \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{3} = 3 - \frac{7}{3} = \frac{9 - 7}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$, $b = -1$, $c = -4$, $d = \frac{2}{3}$