10から100までの自然数の中で、以下の条件を満たす数の和をそれぞれ求めます。 (1) 4で割ると3余る数 (2) 4の倍数 (3) 4で割り切れない数

1. 問題の内容

10から100までの自然数の中で、以下の条件を満たす数の和をそれぞれ求めます。

(1) 4で割ると3余る数

(2) 4の倍数

(3) 4で割り切れない数

2. 解き方の手順

(1) 4で割ると3余る数

10から100までの自然数の中で、4で割ると3余る数は、11, 15, 19, ..., 99です。

これは初項11、公差4の等差数列です。

末項が99であるとき、第何項かを求めます。

$a_n = a_1 + (n-1)d$より、

$99 = 11 + (n-1)4$

$88 = (n-1)4$

$22 = n-1$

$n = 23$

よって、項数は23です。

等差数列の和の公式より、

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S_{23} = \frac{23(11 + 99)}{2} = \frac{23 \times 110}{2} = 23 \times 55 = 1265$

(2) 4の倍数

10から100までの自然数の中で、4の倍数は、12, 16, 20, ..., 100です。

これは初項12、公差4の等差数列です。

末項が100であるとき、第何項かを求めます。

$a_n = a_1 + (n-1)d$より、

$100 = 12 + (n-1)4$

$88 = (n-1)4$

$22 = n-1$

$n = 23$

よって、項数は23です。

等差数列の和の公式より、

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S_{23} = \frac{23(12 + 100)}{2} = \frac{23 \times 112}{2} = 23 \times 56 = 1288$

(3) 4で割り切れない数

10から100までの自然数の和から、4で割り切れる数の和を引けばよいです。

10から100までの自然数の個数は$100 - 10 + 1 = 91$個です。

これらの自然数の和は、

$\frac{91(10+100)}{2} = \frac{91 \times 110}{2} = 91 \times 55 = 5005$

4で割り切れる数の和は1288なので、

$5005 - 1288 = 3717$

3. 最終的な答え

(1) 4で割ると3余る数の和：1265

(2) 4の倍数の和：1288

(3) 4で割り切れない数の和：3717