関数 $f(x) = x + \sqrt{2} \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$)について、導関数 $f'(x)$ および $f''(x)$ を求め、$x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{8\pi}{9}$ における $f'(x)$ と $f''(x)$ の値を計算し、増減表を基に極大値と極小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \sqrt{2} \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$)について、導関数 $f'(x)$ および $f''(x)$ を求め、$x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{8\pi}{9}$ における $f'(x)$ と $f''(x)$ の値を計算し、増減表を基に極大値と極小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を求める。

$f(x) = x + \sqrt{2} \cos x$ より、

$f'(x) = 1 - \sqrt{2} \sin x$

(2) $f''(x)$ を求める。

$f'(x) = 1 - \sqrt{2} \sin x$ より、

$f''(x) = - \sqrt{2} \cos x$

(3) $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f''(\frac{\pi}{4})$ を計算する。

$f''(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -1$

よって、$f''(\frac{\pi}{4}) = -1 < 0$

(4) $x = \frac{8\pi}{9}$ のとき、$f''(\frac{8\pi}{9})$ を計算する。

$\frac{\pi}{2} < \frac{8\pi}{9} < \pi$ であるため、$\cos(\frac{8\pi}{9}) < 0$ となる。

よって、$f''(\frac{8\pi}{9}) = -\sqrt{2} \cos(\frac{8\pi}{9}) > 0$

(5) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$1 - \sqrt{2} \sin x = 0$ より、

$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le x \le 2\pi$ において、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

(6) $f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{8\pi}{9}$ の他に、$x = \frac{3\pi}{4}$

増減表は以下のようになる。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき、$f'(x) > 0$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f'(x) = 0$

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{8\pi}{9}$ のとき、$f'(x) < 0$

$x = \frac{8\pi}{9}$ のとき、$f'(x) = 0$

(7) 極大値と極小値を求める。

$x = \frac{\pi}{4}$ で極大値をとる。

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} + 1$

$x = \frac{8\pi}{9}$ で極小値をとる。

$\cos(\frac{8\pi}{9}) \approx -0.9397$

$f(\frac{8\pi}{9}) = \frac{8\pi}{9} + \sqrt{2} \cos(\frac{8\pi}{9}) \approx \frac{8\pi}{9} - 1.33$

問題文の記述からしてこれは求まらない。

また、$f'(x) = 0$の解に$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ が存在し、$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$となるのは$x=\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$のみ。$\frac{8\pi}{9}$の記述がおかしい。

$f'(\frac{3\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2} \sin(\frac{3\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$

$f''(\frac{3\pi}{4}) = -\sqrt{2} \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\sqrt{2} (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 > 0$

$x = \frac{3\pi}{4}$ で極小値をとる。

$f(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} + \sqrt{2} \cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} + \sqrt{2} (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3\pi}{4} - 1$

(8)解答群から選択肢を選ぶ。

$f''(\frac{\pi}{4}) < 0$ なので、5の解答は 2

$f''(\frac{8\pi}{9}) > 0$ なので、10の解答は 1

3. 最終的な答え

$f'(x) = 1 - \sqrt{2} \sin x$

$f''(x) = -\sqrt{2} \cos x$

$f''(\frac{\pi}{4}) < 0$

$f''(\frac{8\pi}{9}) > 0$

極大値：$\frac{\pi}{4} + 1$

極小値：$\frac{3\pi}{4} - 1$

5の選択肢：2

10の選択肢：1