$\tan x$ の導関数を、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、商の微分公式を用いて導出する問題です。

1. 問題の内容

$\tan x$ の導関数を、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、商の微分公式を用いて導出する問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

* $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であるから、$\tan x$ の導関数は

$(\tan x)' = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)'$

* 商の微分公式より、

$$(\tan x)' = \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x}$$

* $(\sin x)' = \cos x$ および $(\cos x)' = -\sin x$ であるから、

$$(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$$

$$(\tan x)' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

* $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ であるから、

$$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\cos^2 x}$