$\int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx$ を計算する問題です。置換積分を使うように指示されています。

1. 問題の内容

$\int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx$ を計算する問題です。置換積分を使うように指示されています。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。

$u = 1 - \sin x$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = -\cos x$

$du = -\cos x \, dx$

$\cos x \, dx = -du$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\cos x}{1 - \sin x} dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{1}{u} du$

$-\int \frac{1}{u} du = -\ln |u| + C$

ここで $u = 1 - \sin x$ を代入すると、

$-\ln |1 - \sin x| + C$

$1 - \sin x > 0$ なので絶対値を外すことができます。したがって

$-\ln (1 - \sin x) + C$

3. 最終的な答え

$-\ln(1 - \sin x) + C$