関数 $f(x) = x + \sqrt{2}\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) について、導関数 $f'(x)$, $f''(x)$ を求め、与えられた$x$の値における$f'(x)$と$f''(x)$の値を計算し、極大値・極小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \sqrt{2}\cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) について、導関数 $f'(x)$, $f''(x)$ を求め、与えられた$x$の値における$f'(x)$と$f''(x)$の値を計算し、極大値・極小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を求める。

$f(x) = x + \sqrt{2}\cos x$ より、

$f'(x) = 1 - \sqrt{2}\sin x$

よって、1には1、2には$\sqrt{2}$が入ります。

(2) $f''(x)$ を求める。

$f'(x) = 1 - \sqrt{2}\sin x$ より、

$f''(x) = -\sqrt{2}\cos x$

よって、3には$\sqrt{2}$が入ります。

(3) $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f'(\frac{\pi}{4})$ と $f''(\frac{\pi}{4})$ を計算する。

$f'(\frac{\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} = 1 - \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 - 1 = 0$

$f''(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4} = -\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -1$

$f''(\frac{\pi}{4}) = -1 < 0$ より、$f''(\frac{\pi}{4}) < 0$ である。したがって、5の選択肢は2です。

(4) $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f(\frac{\pi}{4})$ を計算する。

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} + 1 = \frac{\pi + 4}{4}$

したがって、極大値は $\frac{\pi}{4} + 1$ であり、6には4、7には1が入ります。

(5) $x = \frac{8}{9}\pi$ のとき、$f'(\frac{8}{9}\pi)$ と $f''(\frac{8}{9}\pi)$ を計算する。

$f'(\frac{8}{9}\pi) = 1 - \sqrt{2}\sin\frac{8}{9}\pi = 0$　（条件より）

$f''(\frac{8}{9}\pi) = -\sqrt{2}\cos\frac{8}{9}\pi$

$\frac{8}{9}\pi$ は第3象限の角に近く、$\cos\frac{8}{9}\pi < 0$ であるので、 $f''(\frac{8}{9}\pi) > 0$ となる。したがって、10の選択肢は1です。

(6) $x = \frac{8}{9}\pi$ のとき、$f(\frac{8}{9}\pi)$ を計算する。

$f(\frac{8}{9}\pi) = \frac{8}{9}\pi + \sqrt{2}\cos\frac{8}{9}\pi$

$\cos\frac{8}{9}\pi \approx -0.9397$ なので、

$f(\frac{8}{9}\pi) = \frac{8}{9}\pi + \sqrt{2} \cdot (-0.9397) \approx 2.7925 - 1.3294 \approx 1.4631$

問題文に合うように、$f(x)$の極小値を$\frac{11}{12}\pi -13$の形で近似したい。

$f(\frac{8}{9}\pi) = \frac{8\pi}{9} + \sqrt{2}cos(\frac{8\pi}{9}) = \frac{8\pi}{9} - \sqrt{2}\sqrt{1 - sin^2(\frac{8\pi}{9})} = \frac{8\pi}{9} - \sqrt{2}\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8\pi}{9} - 1$.

$\frac{11}{12}\pi - 13 \approx 2.8802-13 =-10.1198$

ここから11,12,13には入る値が見つけられません。

(7) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$f'(x) = 1 - \sqrt{2}\sin x = 0$ より、$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{3\pi}{4}$

極大値は$f''(\frac{\pi}{4}) < 0$のときなので、$x=\frac{\pi}{4}$のときの値。

$f''(\frac{3\pi}{4}) = -\sqrt{2}\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\sqrt{2} (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 > 0$なので、極小値をとるのは $x=\frac{3\pi}{4}$のとき。

$f(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} + \sqrt{2}\cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{4} + \sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3\pi}{4} - 1 = \frac{3\pi - 4}{4} \approx 1.356$

3. 最終的な答え

1: 1

2: $\sqrt{2}$

3: $\sqrt{2}$

4: $\frac{\pi}{4}$

5: 2

6: 4

7: 1

8: $\frac{8}{9}$

9: $\frac{8}{9}$

10: 1

11: 3

12: 4

13: 1