与えられた二次式 $x^2 + 3x - a(a+3)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた二次式 $x^2 + 3x - a(a+3)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この二次式を因数分解するには、定数項 $-a(a+3)$ に注目し、積が $-a(a+3)$、和が3となる2つの数を見つける必要があります。$-a(a+3) = -a^2 -3a$ であることを利用します。

以下のように因数分解できると考えられます。

$x^2 + 3x - a(a+3) = (x+p)(x+q)$

ここで、$p+q=3$ かつ $pq = -a(a+3) = -a^2 -3a$を満たす $p$ と $q$ を探します。

$pq = -a(a+3)$より、$p=a+3$ , $q=-a$ とすると、

$p+q=(a+3) + (-a) = a+3-a = 3$となり、条件を満たします。

したがって、与式は

$x^2 + 3x - a(a+3) = (x+a+3)(x-a)$

と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x-a)(x+a+3)$