次の3つの2次式を、複素数の範囲で因数分解します。 (1) $x^2 - 3x - 2$ (2) $2x^2 - 2x - 3$ (3) $x^2 + 4x + 6$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

次の3つの2次式を、複素数の範囲で因数分解します。

(1) $x^2 - 3x - 2$

(2) $2x^2 - 2x - 3$

(3) $x^2 + 4x + 6$

2. 解き方の手順

2次式を複素数の範囲で因数分解するには、まず2次方程式の解を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、解の公式を用いて以下の式で求められます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この解を $\alpha$ と $\beta$ とすると、$ax^2 + bx + c$ は $a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できます。

(1) $x^2 - 3x - 2 = 0$ の解を求める。

$a = 1, b = -3, c = -2$ なので、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

よって、因数分解は $(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$ となります。

(2) $2x^2 - 2x - 3 = 0$ の解を求める。

$a = 2, b = -2, c = -3$ なので、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$

よって、因数分解は $2(x - \frac{1 + \sqrt{7}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{7}}{2})$ となります。

(3) $x^2 + 4x + 6 = 0$ の解を求める。

$a = 1, b = 4, c = 6$ なので、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = -2 \pm \sqrt{2}i$

よって、因数分解は $(x - (-2 + \sqrt{2}i))(x - (-2 - \sqrt{2}i)) = (x + 2 - \sqrt{2}i)(x + 2 + \sqrt{2}i)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$

(2) $2(x - \frac{1 + \sqrt{7}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{7}}{2})$

(3) $(x + 2 - \sqrt{2}i)(x + 2 + \sqrt{2}i)$